В последовательное соединение в цепях переменного тока кроме резисторов могут входить реактивные элементы - индуктивности и емкости, а также источники ЭДС (рис. 1 а).

Преобразуем цепь, представив ее элементы комплексными сопротивлениями (рис. 1 б), и запишем для контура уравнение по второму закону Кирхгофа

Таким образом, в последовательном соединении все резистивные, индуктивные и емкостные сопротивления можно заменить эквивалентными суммами , а источники ЭДС – эквивалентным источником, с ЭДС равной алгебраической сумме , где положительный знак соответствует ЭДС, направление которых встречно по отношению к направлению тока в соединении .

Объединяя активное и реактивные сопротивления в комплексное сопротивление , где , окончательно получим, что последовательное соединение , , и источников ЭДС , можно заменить последовательным соединением эквивалентного комплексного сопротивления и источника ЭДС (рис. 1 г).

Из выражений для эквивалентных комплексных реактивных сопротивлений можно исключить угловую частоту . Тогда мы получим выражения для эквивалентных параметров последовательного соединения –

и .

Мнимая часть комплексного сопротивления может быть положительной или отрицательной в зависимости от того, какое сопротивление больше, индуктивное или емкостное . Соответственно и сдвиг фаз между током и напряжением в этой цепи может изменяться в пределах .

Следует заметить, что при наличии в цепи реактивных элементов обоих типов (индуктивности и емкости) в эквивалентной цепи один или оба реактивных элемента будут отсутствовать. Если , то в эквивалентной цепи не будет емкости. В противном случае будет отсутствовать индуктивность. При равенстве в эквивалентной цепи вообще не будет реактивных элементов.

При отсутствии каких-либо элементов в исходной схеме, например резисторов или источников ЭДС, будут отсутствовать и соответствующие компоненты эквивалентного представления.

В параллельное соединение (рис. 2) могут входить резистивные и реактивные элементы, а также источники тока.

Источники ЭДС не могут соединяться параллельно, т.к., если два источника и подключены к узлам соединения, то и , что возможно только при .

В соответствии с первым законом Кирхгофа общий ток, протекающий через соединение в целом, можно представить в виде суммы токов, протекающих через отдельные элементы

Перейдем к изображениям токов, представив элементы цепи их комплексными проводимостями (рис. б)

Таким образом, в параллельном соединении все резистивные, индуктивные и емкостные проводимости можно заменить эквивалентными суммами , а источники тока – эквивалентным источником, ток которого равен алгебраической сумме , где положительный знак соответствует ЭДС, направление которых встречно направлению тока относительно узла соединения.

Объединяя активную и реактивные проводимости в комплексную проводимость , где , окончательно получим, что параллельное соединение , , и источников тока , можно заменить параллельным соединением эквивалентного комплексной проводимости и источника тока (рис. 2 г).

Из выражений для эквивалентных комплексных реактивных проводимостей можно исключить угловую частоту . Тогда мы получим выражения для эквивалентных параметров параллельного соединения –

.

Из этих выражений следует, что параллельное подключение резистора или индуктивности уменьшает их эквивалентные значения, а параллельное подключение емкости - увеличивает эквивалентную емкость.

Мнимая часть комплексной проводимости может быть положительной или отрицательной в зависимости от того, какая проводимость больше, емкостная или индуктивная . Соответственно и сдвиг фаз между током и напряжением в этой цепи может изменяться в пределах .

Примечание: отрицательный знак в выражении для связан с тем, что этот угол в соответствии с законом Ома отсчитывается от напряжения.

Также как в последовательном соединении, при наличии в цепи реактивных элементов обоих типов (индуктивности и емкости) в эквивалентной цепи один или оба реактивных элемента будут отсутствовать. Если , то в эквивалентной цепи не будет емкости. В противном случае будет отсутствовать индуктивность. При равенстве в эквивалентной цепи вообще не будет реактивных элементов.

При отсутствии каких-либо элементов в исходной схеме, например резисторов или источников тока, будут отсутствовать и соответствующие компоненты эквивалентного представления.

Эквивалентная цепь рис. 2 г представляет собой источник электрической энергии с внутренним источником тока. Очевидно, что ее можно преобразовать в эквивалентный источник с внутренним источником ЭДС (рис. 2 д).

Для цепи рис. 2 г справедливо , а для цепи рис. 2.д – . Вычитая из одного выражения другое, получим условие преобразования эквивалентных источников

.

Таким образом, после преобразования эквивалентная цепь параллельного соединения будет идентична эквивалентной цепи последовательного соединения.

Рассмотрим теперь общий случай смешанного соединения ветвей электрической цепи.

Любая ветвь по определению не содержит узлов и образует последовательное соединение элементов, которое всегда может быть представлено эквивалентным соединением комплексного сопротивления и источника ЭДС или только сопротивления. На рис.3 а показана ветвь 1 () и последовательно с ней параллельное соединение ветвей 2 () и 3 ().

Ветвь 2 с помощью эквивалентного преобразования может быть представлена параллельным соединением (рис. 3 б), где , а затем параллельное соединение – последовательным , где .

Полученное последовательное соединение (рис. 3 в) окончательно преобразуется в источник ЭДС и комплексное сопротивление (рис. 3 г)